Prédicats et quantificateurs

Quantifier un prédicat

Un prédicat dépend d’une ou plusieurs variables, comme x² ≥ 0. Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout » ; le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe au moins un ».

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0      : vrai
∃x ∈ ℝ, x² = x      : vrai, par exemple x = 0

Respecter l’ordre

∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x < y : vrai (choisir y = x + 1)
∃y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, x < y : faux

Dans le premier cas, y peut dépendre de x. Dans le second, un seul y devrait être supérieur à tous les réels.

Nier et démontrer

NON (∀x, P(x)) ⇔ ∃x, NON P(x)
NON (∃x, P(x)) ⇔ ∀x, NON P(x)